воскресенье, 15 октября 2017 г.

О максимальном увеличении цифровых микроскопов

Для измерения толщины лесок, плетенок и поводков я использую цифровой USB-микроскоп Andonstar (и еще). Покупался он, естественно, у китайцев, и продавец указывал его увеличение как 10х-500х.

В свое время я даже пытался каким-то самодельным способом посчитать реальное увеличение моего микроскопа, получил похожие на указанные продавцом числа (360х максимум) и на том успокоился.

Однако, совсем недавно тема максимального увеличения цифровых микроскопов снова всплыла в моей жизни. Несколько товарищей энергично поспорили об этом в комментариях к обзору цифрового микроскопа на небезызвестном сайте. Мне снова стало интересно, и я полез искать похожие обзоры и читать комменты к ним, дабы при везении найти таки наиболее правильную методику расчета максимального увеличения цифровых микроскопов.



Обсуждений нашлось довольно много, наивный подход (примененный в свое время и мной) закономерно и справедливо критиковался, но внятных альтернатив предложено не было. Слова варьируются от "нет общепринятой методики, поэтому каждый считает, как хочет" до категоричного "понятие увеличения для оптико-цифровых систем не имеет смысла, потому что его нельзя посчитать также, как для оптических систем". Сами по себе обсуждения безусловно заслуживают внимания, ибо энергичны, эмоциональны и с переходом на обсуждение компетенций и интеллекта оппонента :) Наиболее эпичный срач живет здесь.

Мое скромное мнение следующее: если с помощью оптико-цифровой системы я вижу, без сомнения, увеличенное изображение, то увеличение есть и это понятие смысл таки имеет. Осталось понять, как его правильно посчитать.

Вкратце напомню, наивный подход состоит в вычислении увеличения, как отношения линейного размера увеличенного изображения к линейному размеру объекта. Претензий к этому подходу ровно две:

  • Увеличение системы зависит от монитора. Если взять уличный экран, то формально можно получить увеличение в десятки и сотни тысяч раз;
  • Даже если не впадать в крайности и брать более-менее типовые мониторы, то получившаяся цифирь сильно отличается от визуально сходного увеличения оптического микроскопа. Например, знающие люди говорят, что такое же максимальное увеличение, как у моего цифрового микроскопа дает оптический приблизительно при 100х-200х. А у меня получилось около 360х.
Почитав многочисленные обсуждения и немного поразмыслив, я понял, что наивный подход допускает две принципиальные ошибки:
  • Считается линейное увеличение вместо видимого;
  • Считается увеличение системы "микроскоп-монитор" вместо "микроскоп-(монитор)-человеческий глаз".
Если эти ошибки исправить, то, смею надеяться, получается более адекватный способ вычисления увеличения, не зависящий от монитора и лучше коррелирующий с показателями увеличения оптических микроскопов.

Во избежание бессмысленных споров сразу хочу оговорить: в качестве характеристик человеческого глаза я буду использовать усредненные параметры сферического глаза в вакууме:

Итак, Википедия:
"Видимое увеличение - одна из важнейших характеристик оптических наблюдательных приборов (биноклей, зрительных труб, луп, микроскопов и т. д.). Численно равно отношению углового размера наблюдаемого через прибор оптического изображения предмета к угловому размеру этого же предмета, но при наблюдении невооружённым глазом".

Общая формула для углового размера:

\[ \alpha = 2\arctan\frac{D}{2L}, \;\;(1)\]

гдe \(D\) — линейный размер, \(L\) — расстояние до наблюдателя.

Для углового размера, видимого невооруженным глазом, все очевидно: расстояние до наблюдателя — то самое расстояние наилучшего зрения (\(L = L_{нз}\)).

\[ A = 2\arctan\frac{D}{2L_{нз}} = 2\cdot\arctan\;2D, \;\;(2) \]

где \(D\) - линейный размер изображения в м.

Для увеличенного изображения такой определенности нет, все мониторы имеют разные размеры и DPI, да и расстояние до наблюдателя можно произвольно варьировать. Нужна некоторая отправная точка для привязки. В качестве нее я взял размер пикселя P.
Посчитаем расстояние, с которого усредненный глаз перестает различать отдельные пиксели:

Формула для расстояния до наблюдателя при известных линейном и угловом размерах

\[ L = \frac{D}{2\tan\frac{\alpha}{2}}, \;\;(1') \]

где \(D\) - линейный размер объекта, \(\alpha\) - угловой размер объекта.

В качестве линейного размера возьмем размер пикселя (\(D = P\)), а вкачестве углового - разрешающую способность глаза (\(\alpha = \alpha_г\))

\[ L_{max} = \frac{P}{2\tan\frac{\alpha_г}{2}}, \;\;(3) \]

где P — размер пикселя в м.

Выразим линейный размер увеличенного изображения на мониторе через размер пикселя монитора:

\[ D' = D_p\cdot P, \;\;(4) \]

где \(D_p\) - размер изображения в пикселях (безразмерная величина), \(P\) - размер пикселя в м.

Поставляя (3) и (4) в (1) получаем оптимальный угловой размер увеличенного изображения

\[ A' = 2\arctan\frac{D'}{2L_{max}} = 2\arctan\frac{D_p\cdot P}{2\frac{P}{2\tan\frac{\alpha_г}{2}}} = 2\arctan(D_p\cdot\tan\frac{\alpha_г}{2}),  \;\;(5) \]

где \(D_p\) - размер увеличенного изображения в пикселях. Как видим, оптимальный угловой размер никоим образом не зависит от размера пикселя.

Так как при малых углах \( \tan\alpha\approx\alpha\), упростим формулу (5):

\[ A' =  2\arctan( D_p\cdot\frac{\alpha_г}{2}).  \;\;(6) \]

Видимое увеличение:

\[ k = \frac{A'}{A} = \frac{\arctan( D_p\cdot\frac{\alpha_г}{2})}{arctan(2D)}, \;\;(7) \]

где \(D_p\) - размер изображения в пикселях (безразмерная величина), \(D\) - линейный размер объекта в м, \(\alpha_г = \frac{\pi}{180\cdot 60}\) - разрешающая способность человеческого глаза.

Для расчета видимого увеличения микроскопа понадобится мира, калибровочное изображение с мелкими элементами известного размера. У меня мира в виде решетки с шагом 0,1 мм, шла в комплекте к микроскопу. Я сфотографировал её в максимальном увеличении, измерил размеры клеток на фотографии и посчитал среднее.

Уменьшенная фотография миры при максимальном увеличении. Исходный размер изображения 1600*1200. Физический размер клетки 0,1 мм

В среднем размер изображения клетки составил 140 пикселей. По формуле (7) получим:

\[ k = \frac{\arctan( 140\cdot\frac{2,91\cdot 10^{-4}}{2})}{arctan(0,0002)} = 101,8, \;\;(8) \]

В итоге имеем приблизительно стократное увеличение микроскопа, что совсем не коррелирует с заявленным максимальным увеличением 500х. Зато это полностью совпадает с интуитивными оценками специалистов, имеющих богатый опыт работы с оптическими микроскопами.

Нужно также отметить, что в данной формуле есть некоторая свобода для махинаций. В некоторых источниках норма разрешающей способности глаза оценивается не строгим значением 1', а диапазоном 1'-2'.  Если в качестве \(\alpha_г\) взять не нижнюю границу диапазона, а среднее значение (1,5') или верхнюю границу (2'), то видимое увеличение системы, вычисленное по формуле (7) станет в 1,5 или 2 раза больше соответственно.

Я же, однако, предпочитаю оценки по пессимистическому варианту, поэтому никаких изменений в формулу вносить не буду