среда, 14 января 2015 г.

Подбор диаметра обжимной трубочки

При самостоятельном изготовлении спиннинговых поводков одним из распространенных способов крепления к поводку вертлюжков и застежек является использование обжимной трубочки. Способ использования обжимной трубочки достаточно прост - конец поводка один или несколько раз пропускается через обжимную трубочку (предварительно надев вертлюжок или застежку), и затем плотно сжимается специальным обжимным (иначе, кримповочным) инструментом или простыми пассатижами. Я обычно сжимаю в нескольких местах маленькими затупившимися бокорезами.




Возникает вопрос - как определить необходимый диаметр обжимной трубочки для известного диаметра поводкового материала? В случае простой петли (вариант а, материал проходит через трубку дважды) все тривиально - трубочка должна быть ровно в два раза толще, чем используемый поводковый материал. Однако для пущей прочности соединения опытные люди советуют пропускать поводок через трубочку три (вариант б), а то и четыре раза. В этом случае задача определения минимально необходимого диаметра обжимной трубочки уже не так тривиальна. Ее решение я и собираюсь предложить.



Геометрическая модель


Модель задачи проста: поводковый материал моделируется \( N \) окружностями диаметра \( d \), касающимися друг друга. Их центры лежат на одной окружности (задача имеет N-лучевую симметрию). Искомой величиной \( D \) будет диаметр окружности, описанной вокруг всех малых окружностей.




Как и любая математическая модель, данная модель существенно ограничивает и упрощает задачу. Например, она не учитывает, что в общем случае сечение поводкового материала не круглое. Также не учитывается случай, когда при увеличении N более некоторого значения в центре появляется место для еще одной малой окружности. Впрочем, это случай для нас малоинтересен, и дальше я покажу, почему.


Решение


\[ D = 2(d + CO); \]
\[ \angle AOB = \alpha = \frac {\pi}{N}; \]
\[ AO\cdot\sin{\alpha}=AB; \]
\[ AO=AC+CO=\frac{d}{2} +CO; \]
\[ AB = \frac{d}{2}; \]
\[ \frac{d}{2}\sin{\alpha}+CO\cdot\sin{\alpha} = \frac{d}{2}; \]
\[ CO=\frac{d(1-\sin{\alpha})}{2\sin{\alpha}};\;\;(1) \]
\[ D = 2d+\frac{d(1-\sin{\alpha})}{\sin{\alpha}}=d\Big(2+\frac{1-\sin{\alpha}}{\sin{\alpha}}\Big)=d\Big(1+\frac{1}{\sin{\alpha}}\Big); \]
\[ D_N=d\bigg(1+\frac{1}{\sin{\frac{\pi}{N}}}\bigg).\;\;(2) \]

Проверим формулу (2) для тривиального случая \( N = 2 \), для которого мы уже знаем ответ: \( D = 2d \)

\[ D_2=d\bigg(1+\frac{1}{\sin{\frac{\pi}{2}}}\bigg)=d\Big(1+\frac{1}{1}\Big)=2d. \]
Проверка пройдено успешно. Теперь осталось выяснить значение \( N' \), при котором в центре появляется дырка, достаточная для еще одной окружности диаметром \( d \), и формула утрачивает истинность для нашей задачи. Критерий этого случая довольно прост: \( 2\cdot CO = d \). Из формулы (1) следует:

\[ 2\cdot\frac{d}{2}\Big(\frac{1-\sin{\alpha}}{\sin{\alpha}}\Big)=d; \]
\[ \frac{1-\sin{\alpha}}{\sin{\alpha}}=1; \]
\[ 1-\sin{\alpha}=\sin{\alpha}; \]
\[ \sin{\alpha}=\sin{\frac{\pi}{N'}}=\frac{1}{2}; \]
\[ \frac{\pi}{N'}=\arcsin{\frac{1}{2}}=\frac{\pi}{6} ; \]
\[ N' = 6. \]

Видим, что формула (2) корректна при \( 2 \leq N < 6 \). В общем, значения \( N > 5 \) нас мало интересуют, так как я с огромным трудом могу представить человека, продевающего поводок в трубочку шесть и более раз :). 

Окончательный вид результирующей формулы (2):

\[ D_N=d\bigg(1+\frac{1}{\sin{\frac{\pi}{N}}}\bigg), N\in [2;6) \cap \mathbb{Z}. \]

Формулы для частных случаев (\( N = 3, 4 \)):

\[ D_3=d\bigg(1+\frac{1}{\sin{\frac{\pi}{3}}}\bigg)\approx 2.155\cdot d; \]
\[ D_4=d\bigg(1+\frac{1}{\sin{\frac{\pi}{4}}}\bigg)\approx 2.415\cdot d. \]

И, по традиции, калькулятор (десятичный разделитель - точка):

N =  ,  d =  мм         DN = мм.

Еще можно посоветовать умножить получившийся диаметр на коэффициент >1, например 1,05 (добавить 5%), для облегчения просовывания поводка в трубочку.